Senin, 15 Maret 2021

LINGKARAN 2

on   in   with Tidak ada komentar


Bagian  2


A. Sudut Antara Dua Tali Busur

1. Sudut Diantara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran

Perhatikan gambar lingkaran berikut!
Pada lingkaran O, ∠AOB, ∠BOC, ∠COD dan ∠DOA merupakan sudut pusat lingkaran. garis AC dan garis BD merupakan tali busur dari lingkaran yang berpotongan di dalam lingkaran pada titik E. Sehingga akan membentuk ∠AEB, ∠BEC, ∠CED dan ∠AED yang merupakan sudut - sudut dari perpotongan dua tali busur tersebut.
Oleh karena itu, berlaku persamaan

Berdasarkan persamaan di atas maka kita bisa menuliskan ∠AEB = ∠CED dan ∠BEC = ∠AED. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar sudut diantara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

Contoh soal.
Perhatikan gambar lingkaran berikut!
Berdasarkan gambar, jawablah pertanyaan berikut!
a. ∠PTS = ∠..... = .......
b. ∠PTQ = ∠..... = .......

Jawab:
a. ∠PTS = ∠RTQ (karena bertolak belakang)
b. ∠PTQ = ∠STR (karena bertolak belakang)
Besarnya sudut dalam hubungannya dengan sudut pusat:
a. ∠PTS = ∠RTQ = ½(∠SOP + ∠QOR) 
b. ∠PTQ = ∠STR = ½(∠SOR + ∠POQ) 

2. Sudut Diantara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Luar Lingkaran

Perhatikan gambar berikut
Pada lingkaran O di atas, ∠KOL, ∠LOM, ∠MON dan ∠NOK merupakan sudut pusat lingkaran. Sedangkan garis MN dan garis KL merupakan tali busur dari lingkaran yang berpotongan di luar lingkaran pada titik P. Sehingga akan membentuk ∠KPN yang merupakan sudut dari perpotongan dua tali busur tersebut.
Pada lingkaran di atas, ∠KMN merupakan sudut keliling yang menghadap busur KN, sehingga: ∠KMN= ½ ∠KON.
Sudut ∠MKL adalah sudut keliling yang menghadap busur LM, sehingga: ∠MKL = ½ ∠MOL
Perhatikan ∆KPM
Sudut ∠MKL adalah sudut luar ∆KPM, sehingga berlaku
Sudut Diantara Dua Tali Busur
Jadi lebih singkatnya dapat dikatakan :

∠KPN = ∠LPM = ½(∠MOL - ∠KON) 

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu

B. Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya. Garis a adalah garis singgung lingkaran yang menyinggung lingkaran di titik A. Garis a tegak lurus OA.
Maka panjang AB = √ OB2 - OA2

Contoh Soal:

Perhatikan gambar lingkaran berikut.

PQ adalah garis singgung lingkaran O yang berjari-jari 5 cm.

Jika panjang garis QR adalah 8 cm, tentukan luas segitiga QOS

Pembahasan
PQ garis singgung lingkaran, sehingga PQ tegak lurus dengan OS (jari-jari lingkaran). 

Dengan phytagoras didapat panjang QS sebagai tinggi segitiga sbb:

                    
Sehingga luas segitga QOS adalah : 
                    L = ½OS x QS
                    L = ½ x 5 x 12
                    L = ½ x 60
                    L = 30 cm²

1. Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
AB disebut garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran P dan Q

Keterangan:
R = jari-jari lingkaran P 
r = jari-jari lingkaran Q 
s = panjang garis singgung 
p = jarak antara pusat lingkaran P dan Q
Panjang AB = CQ.
Panjang garis singgung persekutuan dalam AB adalah: AB = CQ = √PQ2 − (R + r)2
                        s   = √p2 − (R + r)2
                            
 Contoh:
Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ = 26 cm, jari-jari lingkaran masing-masing 8 cm dan 2 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah….
Penyelesaian:
Diketahui :     p = 26 cm
                     R = 8 cm
                     r  = 2 cm
Ditanyakan :   s = ...?
Jawab :
s   = √p² − (R + r)²
s   = √26² − (8 + 2)²
s   = √676 − 100
s   = √576
s   =  24 cm
   

2. Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
AB disebut garis singgung persekutuan luar dua lingkaran P dan Q.

Keterangan:
R = jari-jari lingkaran P 
r = jari-jari lingkaran Q 
s = panjang garis singgung 
p = jarak antara pusat lingkaran P dan Q
Panjang AB = CQ.
Panjang garis singgung persekutuan luar AB adalah: AB = √PQ2 − (R - r)2
        s   = √p2 − (R - r)2

Contoh:
Diketahui dua lingkaran jari-jari lingkaran masing-masing 14 cm dan 2 cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 20 cm maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah….

Penyelesaian:
Diketahui :     p = 20 cm
                     R = 14 cm
                     r  = 2 cm
Ditanyakan :   s = ...?
Jawab :
s   = √p² − (R - r)²
s   = √20² − (14 - 2)²
s   = √400 − 144
s   = √256
s   =  16 cm

Share:

0 komentar:

Posting Komentar